МЧА: Лекция 4. Интерполирование функций для неравноотстоящих узлов

Разностные отношения и их свойства.
Интерполяционный многочлен Лагранжа.
Погрешность формулы Лагранжа.
Пример решения задачи

1 Разностные отношения и их свойства

В том случае, когда значения аргумента являются неравноотстоящими для исследования и вычисления функции используются разностные отношения (разделенные разности). Пусть на отрезке $[a,b]$ заданы произвольные попарно различные узлы интерполирования $x_0, \quad x_1, \quad x_2, ..., \quad x_{n-1}, \quad x_n$ , в которых известны значения некоторой функции $f(x): y_0 = f(x_0), \quad y_1 = f(x1), \quad y_2 = f(x_2), ... , \quad y_n = f(x_n)$ .

Разностными отношениями первого порядка называются величины

$f(x_0, x_1) = \frac {f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} , \quad f(x_1, x_2) = \frac {f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}, ..., \quad f(x_k,x_{k+1}) = \frac {f(x_{k+1}) - f(x_k)}{x_{k+1} - x_k}. \qquad \qquad$ (1.23)

По разностным отношениям первого порядка составляются разностные отношения второго порядка

$f(x_0,x_1,x_2) = \frac {f(x_1,x_2) - f(x_0,x_1)}{x_2 - x_0}, \quad f(x_1,x_2,x_3) = \frac {f(x_2,x_3) - f(x_1,x_2)}{x_3 - x_1},...\qquad \qquad$ (1.24)

Разностные отношения любого порядка $n \ (n = 1,2,3,...)$ определяются при помощи разностных отношений предыдущего порядка $n-1$ по формуле

$f(x_0,x_1,...,x_{n-1}, x_n) = \frac {f(x_1,x_2,...,x_{n-1},x_n) - f(x_0,x_1,...,x_{n-1})}{x_n - x_0}.\qquad \qquad$ (1.26)

Используя определение, можно показать, что разностное отношение является симметрической функцией своих аргументов так, что выполняется равенство

$f(x_0,x_1,...,x_i, x_{i+1},...,x_{n-1}, x_n) = f(x_0,x_1,...,x_{i+1},x_i, ...,x_{n-1}, x_n)\qquad \qquad$ (1.27)

Лемма 1 . Если $P_n(x)$ полином степени $n$ , то его конечная разность $n+1$ порядка равна нулю для любой системы попарно различных между собой чисел $x, x_0, x_1, x_2, ... , x_{n-1}, x_n$

$P_n(x,x_0,x_1,x_2,...,x_{n-1},x_n) \equiv 0 \qquad \qquad$ (1.28)

Доказательство. Так как полином $P_n(x) - P_n(x_0)$ имеет корень в точке $x_0$ , по определению, получим

$P_n(x,x_0) = \frac {P_n(x_0) - P_n(x)}{x_0-x} = P_{n-1}(x).$

С учетом (1.24) полином $P_n(x_0,x_1) - P_n(x,x_0)$ обращается в нуль в точке $x_1$ и вторая конечная разность будет полиномом степени $n-2$

$P_n(x,x_0,x_1) = \frac {P_n(x_0,x_1) - P_n(x,x_0)}{x_1-x} = P_{n-2}(x).$

Продолжая аналогичные рассуждения, приходим к выводу, что

$P_n(x,x_0,x_1,x_2,...,x_{n-1},x_n,x_{n+1})= P(x_0) = const$ ,

и, следовательно, для разностного отношения $n+1$ порядка справедливо равенство (1.28). Лемма доказана.

Теперь получим выражения разностных отношений всех порядков через значения функции. Из определения разностного отношения первого порядка имеем

$f(x_0,x_1) = \frac {f(x_0)}{x_0 - x_1} + \frac {f(x_1)}{x_1 - x_0}. \qquad \qquad$ (1.29)

Для разностного отношения второго порядка получим

$f(x_0,x_1,x_2) = \frac {1}{x_2 - x_0} \left { f(x_1,x_2) - f(x_0,x_1) \right } = \ = \frac {1}{x_2 - x_0} \left { \frac {f(x_1)}{x_1-x_2}+\frac {f(x_2)}{x_2-x_1}-\frac {f(x_0)}{x_0-x_1}-\frac {f(x_1)}{x_1-x_0} \right }= \ = \frac {f(x_0)}{(x_0 - x_1)(x_0 - x_2)} + \frac {f(x_1)}{(x_1 - x_0)(x_1 - x_2)} + \frac {f(x_2)}{(x_2 - x_0)(x_2 - x_1)}. \qquad \qquad$ (1.30)

Докажем, что

$f(x_0,x_1,x_2,...,x_{n-1},x_n) = \sum^{n}_{i=0} {\frac {f(x_i)}{(x_i-x_0) ... (x_i - x_{i-1})(x_i - x_{i+1})...(x_i - x_n) }} = \sum^{n}_{i=0} {\frac {f(x_i)}{\omega ' (x_i)}} \qquad \qquad$ , (1.31)

где $\omega(x) = \prod^{n}_{j=0} {(x-x_j)}$ , а $\omega ' (x_i)$ значение производной от $\omega(x)$ в точке $x_i$ .

Доказательство проведем по индукции. Пусть формула верна для $n=k$ . Тогда

$f(x_0,x_1,...,x_k,x_{k+1}) = \left ( \sum^{k+1}_{i=1} {\frac {f(x_i)}{\omega ' (x_i)}} - \sum^{k}_{i=0} {\frac {f(x_i)}{\omega ' (x_i)}} \right ) : \left ( x_{k+1} - x_0 \right ) = \ = \frac {f(x_0)}{(x_0 - x_1)...(x_0 - x_k)(x_0 - x_{k+1})} + \sum^{k}_{i=1} {\frac {f(x_i)(x_i - x_0 - x_i + x_{k+1})}{\omega '(x_i) (x_{k+1} - x_0)}} +\ + \frac {f(x_{k+1})}{(x_{k+1} - x_0)(x_{k+1} - x_1)...(x_{k+1} - x_k)} = \sum^{k+1}_{i=1} {\frac {f(x_i)}{\omega ' (x_i)}}.$

Приведем еще выражение любого значения $f(x_n)$ функции через начальное значение $f(x_0)$ и разностные отношения $f(x_0,x_1),f(x_0,x_1,x_2),...$ для начальной точки $x_0$ . Из определения $f(x_0,x_1)$ вытекает равенство

$f(x_1) = f(x_0) + (x_1 - x_0) f(x_0,x_1). \qquad \qquad$ (1.32)

На основании соотношений (1.32) и (1.30) будем иметь

$f(x_2) = f(x_1) + (x_2 - x_1) f(x_1, x_2) = f(x_0) + (x_1 - x_0)f(x_0,x_1) + \ </p> <p> +(x_2 - x_1) \left [ f(x_1,x_2) + (x_2 - x_0) f(x_0,x_1,x_2) \right ] = \ </p> <p> = f(x_0) + (x_2 - x_0) f(x_0,x_1) + (x_2 - x_0)(x_2 - x_1) f(x_0, x_1, x_2).$

Используя индукцию, получим

$f(x_n) = f(x_0) + (x_n - x_0) f(x_0, x_1) + (x_n - x_0)(x_n - x_1)f(x_0, x_1, x_2) + ... + (x_n - x_0) ... (x_n - x_{n-1}) f(x_0,x_1, x_2, ..., x_n). \qquad \qquad$ (1.33)

Отметим некоторые свойства разностных отношений

Свойство аддитивности. Если $f(x) = u(x)+v(x)$ , то $f(x_0,x_1) = u(x_0,x_1) + v(x_0,x_1)$ .
Свойство подобия. Если $f(x) = cu(x)$ , где $c=const$ , то $f(x_0,x_1) = cu(x_0,x_1).$
Свойство симметрии. Разностное отношение $f(x_0,x_1,...,x_{n+1},x_n)$ есть симметричная функция своих агрументов (см. (1.27))
Если $f(x)$ есть многочлен степени $n$ , то разностное отношение $n$ -го порядка $f(x_0,x_1,...,x_n)$ не зависит от $x_0,x_1,...,x_n$ и равняется коэффициенту при старшей степени $x$ в многочлене $f(x)$ . Все разностные отношения порядка большего $n$ равны нулю (см. лемму 1).

Установим связь между разностными отношениями и конечными разностями. Предположим, что значения аргумента $x_0,x_1,...,x_n$ являются равноотстоящими $x_0,x_1=x_0 +h,...,x_n = x_0 + nh$ . Тогда получим

$f(x_0,x_1) = f(x_0, x_0 + h) = \frac {f(x_0 + h) - f(x_0)}{x_0 +h - x_0} = \frac {\Delta y_0}{1!h}. \qquad \qquad$ (1.34)

Для разностного отношения второго порядка имеем

$f(x_0,x_1,x_2) = f(x_0, x_0 +h,x_0 + 2h) = \frac {f(x_1, x_2) - f(x_0, x_1)}{x_2 - x_0} = \ = \frac {1}{2h} \left ( \frac {\Delta y_1}{1!h} - \frac {\Delta y_0}{1!h} \right ) = \frac {\Delta^2 y_0}{2!h^2}.$

И для $n$ -го разностного отношения имеет место равенство

$f(x_0, x_0 + h, ... , x_0 + nh) = \frac {\Delta^n y_0}{n!h^n}. \qquad  \qquad $ (1.35)

Последнее изменение: понедельник 20 Сентябрь 2010, 22:28

Вы здесь