МЧА: Лекция 3. Интерполирование внутри таблицы

Первая и вторая интерполяционные формулы Гаусса.
Интерполяционная формула Ньютона-Стирлинга.
Интерполяционная формула Ньютона-Бесселя.
Пример решения задач.

1 Первая и вторая интерполяционные формулы Гаусса

Основным недостатком интерполяционных формул Ньютона является то, что они используют лишь односторонние значения функции. На практике часто оказывается полезным использовать формулы, в которых присутствуют как последующие, так и предыдущие значения функции по отношению к ее начальному значению $y_0$ .

Рассмотрим $2n+1$ равноотстоящих узлов $x_{-n}, x_{-n+1}, ... , x_{-1}, x_0, x_1, x_2, ... , x_n$ , в которых заданы значения некоторой функции $y_i = f(x_i), \ i = -n, ... , n$ . Требуется найти полином степени не выше , такой, чтобы выполнялось условие

$P_{2n}(x_i) = y_i = f(x_i), \ i = 0, \pm 1, \pm 2, ... , \pm n. \qquad \qquad$ (1.18)

Будем искать полином в виде

$P_{2n}(x) = a_0 + a_1 (x - x_0) + a_2 (x - x_0) (x - x_1) + a_3 (x - x_0)(x - x_1)(x-x_2) + ... + a_{2n}(x - x_{-n+1}) \cdot ... \cdot (x-x_{-1})(x-x_0)(x-x_1) \cdot (x - x_n). \qquad \qquad$ (1.19)

Поступая по аналогии с выводом первой интерполяционной формулы Ньютона, для коэффициентов $a_i$ получим следующие выражения

$a_0 = y_0, \quad a_1 = \frac {\Delta y_0}{1! h}, \quad a_2 = \frac {\Delta^2 y_{-1}}{2! h^2}, \quad a_3 = \frac {\Delta^3 y_{-1}}{3! h^3}, \quad a_4 = \frac {\Delta^4 y_{-2}}{4! h^4},..., \ </p> <p> a_{2n-1} = \frac {\Delta^{2n-1} y_{-n+1}}{(2n-1)! h^{2n-1}}, \quad a_{2n} = \frac {\Delta^{2n} y_{-n}}{(2n)! h^2n}. \qquad \qquad$ (1.20)

Введем новую переменную $q = \frac {x-x_0}{h}$ и, подставляя преобразованные выражения для коэффициентов (1.20) в соотношение (1.19), получим первую интерполяционную формулу Гаусса (для интерполирования вперёд)

$P_{2n}(x) = y_0 + q \Delta y_0 + \frac {q(q-1)}{2!} \Delta^2 y_{-1} + \frac {(q+1)q(q-1)}{3!} \Delta^3 y_{-1} + \frac {(q+1)q(q-1)(q-2)}{4!} \Delta^4 y_{-2} +...+ \ + \frac {(q+n-1)...(q+1)q(q-1)...(q-n+1)}{(2n-1)!} \Delta^{2n-1} y_{-n+1} + \frac {(q+n-1)...(q+1)q(q-1)...(q-n)}{(2n)!} \Delta^{2n} y_{-n}. \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ (1.21)

Разности $\Delta y_0, \quad \Delta^2 y_{-1}, \quad \Delta^3 y_{-1} , \quad \Delta^4 y_{-2}, \quad \Delta^5 y_{-2}, \quad \Delta^6 y_{-3}, ...$ , используемые в этой формуле, образуют нижнюю ломаную линию в диагональной таблице разностей 1.2. (см. внизу)

Если полином $P_{2n}(x)$ искать в виде

$P_{2n}(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_{-1})(x-x_0) + a_3(x-x_{-1})(x-x_0)(x-x_1) + \ + a_4(x-x_{-2})(x-x_{-1})(x-x_0)(x-x_1) + ... +a_{2n-1}(x-x_{-n+1}) \cdot ... \cdot (x-x_0) \cdot \ \cdot ... \cdot (x-x_{n-1}) + a_{2n}(x-x_{-n}) \cdot ... \cdot (x-x_{-1})(x-x_0)(x-x_1) \cdot ... \cdot (x-x_{n-1}),$

то аналогично (1.21) можно получить вторую интерполяционную формулу Гаусса (для интерполирования назад)

$P_{2n}(x) = y_0 + q \Delta y_{-1} + \frac {(q+1)q}{2!} \Delta^2 y_{-1} + \frac {(q+1)q(q-1)}{3!} \Delta^3 y_{-2} + \ + \frac {(q+1)q(q-1)(q-2)}{4!} \Delta^4 y_{-2} + ... + \frac {(q+n-1)...(q+1)q(q-1)...(q-n+1)}{(2n-1)!} \Delta^{2n-1} y_{-n} + \ + \frac {(q+n-1)...(q+1)q(q-1)...(q-n)}{(2n)!} \Delta^{2n} y_{-n} \qquad \qquad$ (1.22)

Разности $\Delta y_{-1}, \quad \Delta^2 y_{-1}, \quad \Delta^3 y_{-2} , \quad \Delta^4 y_{-2}, \quad \Delta^5 y_{-3}, \quad \Delta^6 y_{-3}, ...$ , используемые в этой формуле, образуют верхнюю ломаную линию в диагональной таблице разностей 1.2.

Формулы Гаусса применяются для интерполирования в середине таблицы вблизи $x_0$ . При этом первая формула Гаусса (1.21) применяется при $x>x_0$ , а вторая (1.22) – при $x<x_0$ .

Таблица 1.2 Диагональная таблица разностей

$x$	$y$	$\Delta y$	$\Delta^2 y$	$\Delta^3 y$	$\Delta^4 y$	$\Delta^5 y$	$\Delta^6 y$
$x_{-4}$	$y_{-4}$
		$\Delta y_{-4}$
$x_{-3}$	$y_{-3}$		$\Delta^2 y_{-4}$
		$\Delta y_{-3}$		$\Delta^3 y_{-4}$
$x_{-2}$	$y_{-2}$		$\Delta^2 y_{-3}$		$\Delta^4 y_{-4}$
		$\Delta y_{-2}$		$\Delta^3 y_{-3}$		$\Delta^5 y_{-4}$
$x_{-1}$	$y_{-1}$		$\Delta^2 y_{-2}$		$\Delta^4 y_{-3}$		$\Delta^6 y_{-4}$
		$\color{red}\Delta y_{-1}$	$\quad \ \searrow$	$\color{red} \Delta^3 y_{-2}$	$\quad \ \searrow$	$\color{red} \Delta^5 y_{-3}$	$\quad \ \searrow$
$x_0$	$y_0$		$\color{red} \Delta^2 y_{-1}$	$\nearrow \ \searrow$	$\color{red} \Delta^4 y_{-2}$	$\nearrow \ \searrow$	$\color{red} \Delta^6 y_{-3}$
		$\color{red} \Delta y_0$	$\nearrow$	$\color{red} \Delta^3 y_{-1}$	$\nearrow$	$\color{red} \Delta^5 y_{-2}$	$\nearrow$
$x_1$	$y_1$		$\Delta^2 y_0$		$\Delta^4 y_{-1}$		$\Delta^6 y_{-2}$
		$\Delta y_1$		$\Delta^3 y_0$		$\Delta^5 y_{-1}$
$x_2$	$y_2$		$\Delta^2 y_1$		$\Delta^4 y_0$
		$\Delta y_2$		$\Delta^3 y_1$
$x_3$	$y_3$		$\Delta^2 y_2$
		$\Delta y_3$
$x_4$	$y_4$

2 Интерполяционная формула Ньютона-Стирлинга

Среднее арифметическое первой (1.21) и второй (1.22) формул Гаусса дает интерполяционную формулу Ньютона-Стирлинга

$P_{2n}(x) = y_0 + \frac {\Delta y_0 + \Delta y_{-1}}{2} q + \frac {q^2}{2!} \Delta^2 y_{-1} + \frac {(q^2 - 1)q}{3!} \frac {\Delta^3 y_{-1}+\Delta^3 y_{-2}}{2} + \frac {q^2(q^2-1)}{4!} \Delta^4 y_{-2} + \ +...+ \frac {(q+n-1)...(q+1)q(q-1)...(q-n+1)}{(2n-1)!} \frac {\Delta^{2n-1} y_{-n+1} + \Delta^{2n-1} y_{-n}}{2} + \frac {q^2(q^2-1)...(q^2 - (n-1)^2)}{(2n)!} \Delta^{2n} y_{-n}.$

Остаточный член интерполяционной формулы Ньютона-Стирлинга имеет вид

$R_{2n}(x) = h^{2n+1} \frac {q^2(q^2-1)...(q^2 - n^2)}{(2n+1)!} f^{2n+1}(\xi),$

где точка $\xi$ принадлежит отрезку, содержащему узлы $x_0 - nh$ , $x_0 + nh$ и точку $x$ .

3 Интерполяционная формула Ньютона-Бесселя

Кроме формулы Ньютона-Стирлинга для $2n+2$ равноотстоящих узлов $x_{-n},x_{-n+1},..., x_{-1}, x_0,x_1,x_2,...,x_{n+1}$ часто используют интерполяционную формулу Ньютона-Бесселя, которая имеет вид

$P_{2n+1}(x) = \frac {y_0 + y_1}{2} + (q - \frac{1}{2}) \Delta y_0 + \frac {q(q-1)}{2!} \frac {\Delta^2 y_{-1} + \Delta^2 y_0}{2}+ \frac {(q-\frac{1}{2})q(q-1)}{3!} \Delta^3 y_{-1} + \frac {q(q-1)(q+1)(q-2)}{4!} \frac {\Delta^4 y_{-2} + \Delta^4 y_{-1}}{2}+ \ +...+ \frac {q(q-1)...(q-n)(q+n-1)}{(2n)!} \frac {\Delta^{2n} y_{-n} + \Delta^{2n} y_{-n+1}}{2} + \frac {(q-\frac{1}{2})q(q-1)(q+1)...(q-n)(q+n-1)}{(2n+1)!} \Delta^{2n+1} y_{-n}$ .

Остаточный член интерполяционной формулы Ньютона-Бесселя следующий

$R_{2n+2}(x) = h^{2n+2} \frac {q(q-1)...(q-n)(q+n-1)}{(2n+2)!} f^{(2n+2)} (\xi),$

где точка $\xi$ принадлежит отрезку, содержащему узлы $x_0 - nh$ , $x_0 + nh + h$ и точку $x$ .

Формулы с центральными разностями следует использовать, когда интерполирование проводится в середине таблицы. Если при этом $|q|\le 0.25$ , то целесообразно применять интерполяционную формулу Ньютона-Стирлинга, а при $0.25 \le |q| \le 0.75$ – интерполяционную формулу Ньютона-Бесселя.

Следует отметить, что все приведенные выше формулы являются различными формами записи интерполяционного многочлена и поэтому любая из них может быть использована для интерполирования функции. Однако с вычислительной точки зрения они не равноценны. Каждая форма записи организована таким образом, что для соответствующего случая расположения точки интерполирования $\overline{x}$ , в первую очередь вычисляются слагаемые, влияние которых на результат наиболее существенен.

Замечание. При интерполировании функций, заданных таблицей с постоянным шагом $h$ аргумента, рекомендуется руководствоваться следующими правилами:

1. Составляя таблицу разностей, определяют максимальный порядок разностей, которые ведут себя правильно. Это означает следующее. Обычно значения функции в таблице приближенные. Если их предельная абсолютная погрешность может достигать половины единицы последнего разряда, то погрешность в разностях первого порядка может достигать уже единицы последнего разряда, в разностях второго порядка – двух единиц последнего разряда и т.д.

Для гладких функций обычно разности убывают с порядком, при некотором порядке становятся почти постоянными, и, следовательно, разности следующего порядка будут малы, но из-за неточности значений функции в дальнейшем с увеличением порядка разности начинают расти, имея беспорядочные знаки. Они-то уже и будут неправильными и их нельзя использовать при интерполировании.

2. Определив наивысший порядок разностей, которые можно использовать при интерполировании, выбирают интерполяционную формулу. Если значение $x$ находится близко к началу отрезка $[a,b]$ , то при интерполировании нужно использовать формулу Ньютона для интерполирования вперед, а при $x$ близких к концу отрезка – формулу Ньютона для интерполирования назад, так как только эти формулы допускают использование правильных разностей до максимального порядка. Если же значения $x$ , для которого нужно вычислить значение функции, находится на отрезке $\left [ x_i, x_{i+1} \right ]$ , то нужно применять формулы Стирлинга или Бесселя, применяя за начальный узел в них узел $x_i$ или $x_{i+1}$ в зависимости от того, который из них ближе к $x$ . При этом применяется формула Стирлинга, если $|q| \le 0.25$ и формула Бесселя при $0.25 \le |q| \le 0.75$ . Кроме того, при использовании формулы Стирлинга необходимо учитывать последнюю правильную разность нечетного порядка, а при использовании формулы Бесселя – последнюю правильную разность четного порядка.

4 Пример решения задач

Для функции $y = e^x$ построить таблицу значений функции на отрезке $[1.15;1.30], \quad h = 0.05$ . С помощью интерполяционной формулы Гаусса найти значение функции $e^{1.13}$ и $e^{1.17}$ .

Решение.

Составляем таблицу разностей

$i$	$x_i$	$y_i$	$\Delta y$	$\Delta^2 y$	$\Delta^3 y$
$-3$	$1.00$	$2.7183$	$0.1394$	$0.0071$	$0.0004$
$-2$	$1.05$	$2.8577$	$0.1465$	$0.0075$	$0.0004$
$-1$	$1.10$	$3.0042$	$0.1540$	$0.0079$	$0.0004$
$0$	$1.15$	$\color {red} 3.1582$	$0.1619$	$0.0083$	$0.0005$
$1$	$1.20$	$3.3201$	$0.1702$	$0.0088$
$2$	$1.25$	$3.4903$	$0.1790$
$3$	$1.30$	$3.6693$

Замечаем, что третьи разности практически постоянны. Поэтому в формулах (1.21) и (1.22) достаточно взять $n=3$ .

Для вычисления $e^{1.17}$ используем формулу (1.21) (поскольку 1.17>1.15) при $n=3$ и $q = \frac {1.17 - 1.15}{0.05} = 0.4$ :

$e^{1.17} = y_0 + q \Delta y_0 + \frac {q(q-1)}{2!} \Delta^2 y_{-1} + \frac {(q+1)q(q-1)}{3!} \Delta^3 y_{-1} = \ = 3.1582 + 0.4 \cdot 0.1619 + \frac {0.4 \cdot (-0.6)}{2} \cdot 0.0079 + \frac {0.4 \cdot (-0.6) \cdot 1.4}{6} \cdot 0.0004 = 3.2220$

Значение $e^{1.17} = 3.2220$ расположено между $3.1582<3.2220<3.3201$ (см. таблицу, т.к. $1.15<1.17<1.20$ ), следовательно, значение функции в точке нашли правильно.

Для вычисления $e^{1.13}$ используем формулу (1.22) (поскольку $1.13<1.15$ ) при $n=3$ и $q = \frac {1.13 - 1.15}{0.05} = -0.4$ :

$e^{1.13} = y_0 + q \Delta y_{-1} + \frac {(q+1)q}{2!} \Delta^2 y_{-1} + \frac {(q+1)q(q-1)}{3!} \Delta^3 y_{-2} = \ = 3.1582 - 0.4 \cdot 0.1540 - \frac {0.6 \cdot 0.4}{2} \cdot 0.0079 + \cdot \frac {0.6 \cdot (-0.4) \cdot (-1.4)}{6} \cdot 0.0004 = 3.0957.$

Последнее изменение: среда 1 Сентябрь 2010, 21:00

Вы здесь